Elementi di analisi funzionale e applicazioni alle serie e alle trasformate di Fourier (continua e discreta). Distribuzioni e distribuzioni temperate. Trasformate delle distribuzioni. Elementi della teoria dell'integrazione di Lebesgue.
Comportamento asintotico e oscillazioni delle soluzioni di un'equazione differenziale. Oscillazione e teoremi di confronto per EDO lineari del II ordine. Problemi al contorno di tipo Sturm-Liouville ordinari.
Misura e integrale di Lebesgue: Carlo Pucci - Istituzioni di analisi superiore, UMI 2013; W. Rudin - Real and complex analysis. McGraw-Hill
Primi elementi di Analisi Funzionale, Serie di Fourier e Trasformate in L^1 e L^2: F. Mugelli - M. Spadini, Metodi Matematici. Società editrice Esculapio.
Teorema del campionamento: M. Marini, Metodi Matematici per lo studio delle reti elettriche. CEDAM
Distribuzioni e loro trasformate, Teoria di Sturm-Liouville e funzione di Green: G. C. Barozzi, Matematica per l'ingegneria dell'informazione. Zanichelli.
Obiettivi Formativi
Obiettivo formativo e' l'acquisizione di una buona disposizione all'approccio teorico e al rigore logico-formale mediante l'approfondimento di alcuni concetti riguardanti l'Analisi Funzionale, la teoria delle serie e delle trasformate di Fourier, la teoria delle distribuzioni e l'analisi qualitativa di equazioni differenziali.
Prerequisiti
Argomenti contenuti nei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e nel corso di Geometria
Metodi Didattici
Lezioni frontali in aula
Altre Informazioni
Si veda
http://www.dma.unifi.it/~spadini/dida.php
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale
Programma del corso
Elementi di analisi funzionale e reale
* La misura e l'integrale di Lebesgue. Teoremi di passaggio al limite.
* Spazi normati e metrici. Spazi dotati di un prodotto scalare o hermitiano. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norme L^p. Spazi metrici completi. Sistemi ortonormali completi e spazi di Hilbert.
* Il problema della migliore approssimazione in L^2 e serie di Fourier.
* La trasformata di Fourier di una funzione L^1(R) come "versione continua" della serie di Fourier e sue proprietà. Teorema di inversione (con dimostrazione). Formula di dualità. La trasformata di Fourier in L^2(R) (Fourier-Plancherel).
* Teorema del campionamento (Shannon) con dimostrazione.
* La trasformata discreta di Fourier; interpretazione come approssimazione; forma matriciale. Teorema di inversione per la trasformata discreta di Fourier.
* Lo spazio D(R) delle funzioni test e delle distribuzioni D'(R). Iniettività dell'immersione di L^1_{loc} in D'(R). La delta di Dirac e il valore principale di 1/x. Operazioni sulle distribuzioni. Derivata di una distribuzione.
* Lo spazio di Schwartz S(R) e delle distribuzioni temperate S'(R). Inclusione di L^1(R), L^2(R), L^\infty(R) e D(R) in S. Funzioni a crescita lenta. Trasformata di Fourier di una distribuzione temperata e sue propriet\`a principali.
* Nozione di distribuzione periodica. Serie di distribuzioni convergenti. Supporto di una distribuzione. Cenno alla nozione di trasformata di Laplace di una distribuzione. Cenno alla nozione di convoluzione di due distribuzioni.
Problemi al contorno per equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa
Comportamento asintotico delle soluzioni di un'equazione differenziale.
Oscillazioni delle soluzioni di un'equazione differenziale.
Teorema di separazione di Sturm.
Oscillazione e teoremi di confronto per equazioni differenziali lineari del II ordine ed applicazioni.
Problemi al contorno di tipo Sturm-Liouville ordinari.