I numeri; successioni e serie numeriche; funzioni di una variabile, limiti e continuità; calcolo differenziale per funzioni di una variabile ed approssimazione; calcolo integrale per funzioni di una variabile.
1) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa,"Analisi Matematica 1", Zanichelli (2008)
2) S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di Analisi Matematica" Vol. 1, Zanichelli (2011)
Altri testi di consultazione consigliati:
3) G. Anichini, G. Conti, "Analisi Matematica 1", Pearson (2010).
4) Carlo Sbordone, Paolo Marcellini, "Esercitazioni di matematica Volume I", Parte prima e parte seconda
Obiettivi Formativi
Apprendimento ed acquisizione di strumenti matematici necessari alla descrizione e comprensione dei fenomeni fisici. Potenziamento e sviluppo dell'attitudine sia al ragionamento analitico e logico deduttivo sia all' individuazione dei dati essenziali nell'analisi e nella sintesi della presentazione di possibili problematiche. Potenziamento dell'attitudine ad individuare schemi e modelli matematici per problemi di varia natura.
Prerequisiti
Elementi di logica elementare e comprensione verbale. Elementi di Algebra. Calcolo letterale. Elementi di geometria descrittiva piana e spaziale. Lunghezze, aree, volumi delle principali figure geometriche elementari. Elementi di geometria analitica: coordinate cartesiane e grafici di funzioni elementari. Elementi di trigonometria piana.
Metodi Didattici
Il corso prevede lo svolgimento di lezioni ed esercitazioni in aula.
Informazioni aggiornate sul corso, il registro delle lezioni tenute, esercizi aggiuntivi e/o appunti delle lezioni potranno essere trovati sulla pagina di unifi e-learning https://e-l.unifi.it/course/view.php?id=1910
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova teorica successiva alla prova scritta. Sono previste prove parziali di verifica dell'apprendimento durante lo svolgimento del corso; il superamento di tali prove equivale al superamento della prova scritta.
Programma del corso
I NUMERI
Insiemi. Unione, intersezione, differenza complementare, prodotto cartesiano, inclusione. Sommatorie. Proprietà formali delle sommatorie. Somma di una progressione geometrica. Numeri naturali. Principio di induzione. Fattoriale di n e coefficienti binomiali. Binomio di Newton. Numeri razionali. Numeri reali. Valore assoluto. Maggioranti e minoranti di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo di un insieme.
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio, grafico. Funzioni limitate, iniettive, suriettive, monotone. Composizione di funzioni. Funzioni inverse. Funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Funzioni trigonometriche inverse e funzioni iperboliche inverse.
SUCCESSIONI
Definizione di successione. Concetto di limite. Unicità del limite. Proprietà dei limiti. Successioni limitate inferiormente e/o superiormente. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Forme indeterminate. Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno. Successioni monotone e loro proprietà. Il numero di Nepero. Stime asintotiche. Limiti notevoli.
LIMITI DI FUNZIONE. FUNZIONI CONTINUE
Intervalli. Definizione topologica e successionale di limite. Limite destro e limite sinistro. Operazioni con i limiti. Unicità, permanenza del segno, teoremi del confronto. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Limiti notevoli. Funzioni continue. Somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue. Teorema di Weirstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Monotonia e continuità. Funzioni inverse di funzioni continue.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Derivate. Significato geometrico della derivata: retta tangente al grafico di una funzione. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Continuità e derivabilità. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Punti di massimo e di minimo relativo. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni costanti. Criteri di monotonia. Derivate di ordine superiore. Convessità e concavità. Punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. I teoremi di de l'Hopital. Una condizione sufficiente per la derivabilità. Differenziale ed approssimazione lineare. Il simbolo "o piccolo". Formula di Taylor. Resto secondo Peano e secondo Lagrange. Applicazioni della formula di Taylor e di Mac Laurin.
CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Somme di Cauchy-Riemann. L'integrale come limite di somme di Cauchy-Riemann. Interpretazione geometrica. Classi di funzioni integrabili. Esempi di funzioni non integrabili. Proprietà dell'integrale. Il teorema del valor medio per il calcolo integrale. Primitive. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per scomposizione, per parti, per sostituzione. Integrali generalizzati. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Assoluta integrabilità. La funzione integrale.
SERIE NUMERICHE
Definizione di serie. Somma di una serie. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e la serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza. Criteri di convergenza: del confronto, del rapporto e della radice. Criterio del confronto asintotico. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno.