EDO del I e II ordine. EDO di ordine n. Esistenza ed unicità per il PVI. Analisi qualitativa e stabilità. Spazi di funzioni. Serie di funzioni e serie di Fourier. Spazi di probabilità. Variabili aleatorie discrete e continue mono e pluridimensionali.
1) G.Borgioli: Lecture Notes, on the webpage http://www.unifi.it/detmod/mdswitch.html
2) G. Borgioli - Modelli Matematici di Evoluzione ed Equazioni Differenziali - CELID, Torino (1996).
3) M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa - Matematica – Zanichelli
4) P. Baldi, Introduzione alla probabilità con elementi di statistica, McGraw-Hill.
5) G. Modica, L. Poggiolini - Note di Calcolo delle Probabilità - Pitagora
6) S.M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze - Apogeo
7) R. Giuliano, L. Ladelli, P. Baldi, Laboratorio di statistica e probabilità, McGraw-Hill.
8) G.C.Barozzi - Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione - Zanichelli
9) M.Marini - Metodi Matematici per lo studio delle Reti Elettriche - CEDAM
10) W. E. Boyce, R. C. DiPrima - Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,John Wiley & Sons, Inc.
11) W. Navidi, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, McGraw-Hill.
Sulla pagina web dedicata al corso, reperibile all'indirizzo: http://www.unifi.it/detmod sono disponibili:
- Appunti ed esercizi su specifici argomenti, nel caso in cui tali argomenti non siano presenti o differiscano in modo sostanziale dal materiale presente sui testi adottati.
- Il registro delle lezioni, aggiornato settimanalmente.
- Compiti assegnati a precedenti prove d'esame
Obiettivi Formativi
Fornire nozioni e capacità di base nel trattamento delle Equazioni Differenziali Ordinarie e dell'Analisi di Fourier. Introdurre le nozioni di base della teoria della probabilità e fornire le competenze teoriche ed applicate per lo studio dell’incertezza.
Lo studente conosce le tecniche fondamentali per la risoluzione di Equazioni Differenziali Ordinarie del I e II ordine (lineari). E' a conoscenza dei fondamenti dell'analisi qualitativa e delle basi dell'analisi di Fourier. È in grado di risolvere problemi di calcolo delle probabilità, e conosce le principali distribuzioni di probabilità per variabili aleatorie discrete e continue, sia mono che pluri-dimensionali.
Prerequisiti
Programma del corso di Analisi Matematica.
Metodi Didattici
Lezioni ed Esercitazioni in aula
Altre Informazioni
CALENDARIO ESAMI
08/01/2013, ore 9:30 aula 001 Centro Didattico Morgagni
29/01/2013, ore 9:30 aula 001 Centro Didattico Morgagni
19/02/2013, ore 9:30 aula 001 Centro Didattico Morgagni
11/06/2013, ore 9:30 aula 005 Centro Didattico Morgagni
25/06/2013, ore 9:30 aula 005 Centro Didattico Morgagni
09/07/2013, ore 9:30 aula 005 Centro Didattico Morgagni
11/09/2013, ore 15:30 aula 005 Centro Didattico Morgagni
NOTA:
E' obbligatorio iscriversi alla prova scritta per mezzo del sito http://sol.unifi.it/prenot/prenot
Le iscrizioni saranno aperte almeno tre settimane prima della prova e chiuse due giorni prima della prova stessa.
La prova scritta (durata 3 ore) consiste nella risoluzione di alcuni esercizi del tipo di quelli proposti durante il corso.
L'ammissione alla prova orale si ottiene con una valutazione sufficiente (cioè maggiore od uguale a 18/30).
La prova orale verte sugli aspetti teorici proposti nel corso.
COMMISSIONE
G.BORGIOLI, L. POGGIOLINI, S. MATUCCI, M. MARINI, M. CECCHI, M. LANDUCCI, G. MODICA,
G. FROSALI, M. MODUGNO, F. MUGELLI, M. SPADINI.
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta consistente nella risoluzione di esercizi e prova orale.
Per sostenere la prova scritta è richiesta l'iscrizione all'esame sul sito http://sol.unifi.it/prenot/prenot
Programma del corso
1 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO)
1.1 - Definizioni e terminologia; la forma normale; l'equazione del primo ordine y'(x)=f(x,y(x)) per funzioni y(x) definite su R ed a valori in Rn come forma generale rappresentativa di EDO di ordine n e di sistemi di n EDO del primo ordine; il problema di Cauchy o ai valori iniziali (PVI); il teorema di esistenza ed unicità (TEU) per il PVI: caso di equazioni del primo ordine per funzioni scalari (da R in R) e caso generale (senza dimostrazione); conseguenze del TEU per i sistemi lineari.
1.2 - EDO del I ordine: metodi risolutivi per le equazioni scalari del I ordine: a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni lineari complete, equazioni del tipo di Bernoulli, equazioni esatte e fattori integranti.
1.3 - EDO del II ordine: metodi risolutivi per le equazioni riconducibili ad equazioni del I ordine; equazioni integrabili per quadrature; equazioni lineari a coefficienti costanti, caso omogeneo e non omogeneo: il metodo dei coefficienti indeterminati ed il metodo di variazione delle "costanti".
1.4 - Equazioni lineari in forma generale: ricerca delle soluzioni generali. Spazi lineari di funzioni: lo spazio generato dalle soluzioni di EDO lineari omogenee.
1.5 - Interpretazione geometrica ed analisi qualitativa per le EDO del II ordine e per i sistemi del I ordine di dimensione 2: il piano delle fasi.
1.6 - Stabilità delle soluzioni rispetto alle condizioni iniziali: definizione di stabilità secondo Liapunov: stabilità delle soluzioni di equilibrio e stabilità delle soluzioni evolutive; stabilità asintotica; proprietà di stabilità per equazioni e sistemi lineari; analisi dettagliata dei sistemi a dimensione 2: definizione di centro, punto sella; fuoco (spirale); nodo; caso di equazioni e sistemi non lineari: criterio di stabilità in prima approssimazione; II Criterio di Liapunov per la stabilità, per la stabilità asintotica e per l'instabilità. Analisi qualitativa con il metodo dell'energia.
1.7 - Modelli meccanici ed in teoria dei circuiti che vengono formulati come EDO: l'oscillatore armonico, l'oscillatore armonico smorzato e forzato e la risonanza lineare, il pendolo non lineare.
Modelli in dinamica delle popolazioni: il modello malthusiano, il modello logistico, il modello preda-predatore
2 - SERIE DI FOURIER (SF)
2.1 - Spazi di funzioni dotati di prodotto interno (spazi unitari). Norma di una funzione.
Disuguaglianza di Schwartz, disuguaglianza di Minkowski (triangolare), disuguaglianza di Bessel.
Spazio delle funzioni continue a tratti su un intervallo. Polinomi trigonometrici e polinomi di Fourier; base ortonormale approssimante reale e complessa.
2.2 - Successioni di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme; serie di funzioni, serie di potenze, raggio di convergenza, criterio di Abel.
2.3 - Serie di Fourier reale e complessa, calcolo dei coefficienti; SF di funzioni periodiche e di funzioni definite su un intervallo qualunque; convergenza in norma (media quadratica); l'uguaglianza di Parseval; le condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale della SF; convergenza della serie derivata e della serie integrale; funzioni pari e dispari e loro SF; fenomeno di Gibbs e convergenza uniforme della SF.
2.4 - Applicazioni: l'equazione della diffusione e l'equazione delle onde (unidimensionali) e risoluzione di problemi al contorno ed ai valori iniziali.
3 - SPAZI DI PROBABILITÀ
Fenomeni deterministici ed aleatori. Spazi di probabilità; definizione e proprietà elementari. Probabilità condizionale, formula di Bayes, formula delle probabilità totali, eventi indipendenti. Schema di Bernoulli (schema successo-insuccesso). Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Legge ipergeometrica.
3.1 - Modelli discreti
Variabili aleatorie e funzione di ripartizione. Variabili aleatorie discrete e loro densità. Esempi: densità binomiale (schema successo-insuccesso con rimpiazzo), schema successo-insuccesso senza rimpiazzo, densità geometrica, densità geometrica modificata, distribuzione di Poisson.Variabili aleatorie pluri-dimensionali discrete. Densità congiunta e densità marginali. Esempio di v.a. bidimensionali con medesime densità marginali ma diversa densità congiunta. Densità multinomiale. Indipendenza di v.a. Densità condizionale. Funzioni di variabili aleatorie e indipendenza. Calcoli con densità: densità della somma di v.a. discrete indipendenti e non, densità della somma di v.a. indipendentidi Bernoulli e di Poisson. Funzione di ripartizione del massimo e del minimo di due v.a. discrete indipendenti. Speranza matematica (o media o valore atteso) di una v.a. discreta; composizioni, linearità, speranza matematica del prodotto di v.a. indipendenti, monotonia. Esempi: calcolo del valore atteso di v.a. di Bernoulli, binomiali, ipergeometriche, di Poisson, geometriche modificate. Momenti di ordine k e momenti centrati di ordine k, varianza, covarianza e loro proprietà. Disuguaglianza di Chebyshev. Esempi: varianza di v.a. di Bernoulli, binomiali, di Poisson, geometriche modificate, ipergeometriche. Coefficiente di correlazione.
3.2 - Modelli continui
Funzione di ripartizione e sue proprietà. V.a. con funzione di ripartizione continua. Densità di una v.a. continua. Esempi: densità uniforme su di un intervallo, densità esponenziale. Quantili. Funzioni di v.a. continue: funzione di ripertizione e densità per i casi f(X)=X^2, f(X)=aX+b. V.a. indipendenti. Densità di Z=max(X,Y), W=min(X,Y), nel caso in cui X e Y sono v.a. indipendenti di densità note. Leggi normali, leggi Gamma e loro principali proprietà. Speranza matematica per v.a. con densità continua. Proprietà di linearità e monotonia. Speranza matematica della composizione e del prodotto di v.a. indipendenti. Momenti e momenti centrati, varianza, covarianza, disuguaglianza di Chebyshev. Esempi: speranza matematica e varianza della distribuzione uniforme su di un intervallo, v.a. normali, v.a. esponenziali.
3.3. - Successioni di variabili aleatorie
Legge forte e le gge debole dei grandi numeri. Teorema del Limite Centrale