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B000023 - ANALISI MATEMATICA
Principali informazioni
Lingua Insegnamento
Contenuto del corso
Libri di testo consigliati
Obiettivi Formativi
Prerequisiti
Metodi Didattici
Altre Informazioni
Modalità di verifica apprendimento
Programma del corso
Anno Accademico 2012-13
Anno di corso
Primo Anno - Annualità singola
Dipartimento di Afferenza
Ingegneria dell'Informazione
Tipo insegnamento
Attività formativa monodisciplinare
Settore Scientifico disciplinare
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Crediti Formativi
12
Ore Didattica
108
Periodo didattico
17/09/2012 ⇒ 10/06/2013
Frequenza Obbligatoria
No
Tipo Valutazione
Voto Finale
Contenuto del corso
mostra
Programma del corso
mostra
Docenza
Lingua Insegnamento
italiano
Contenuto del corso
I numeri; successioni e serie numeriche; funzioni di una variabile, limiti e continuità; calcolo differenziale per funzioni di una variabile ed approssimazione; calcolo integrale per funzioni di una variabile; introduzione alle equazioni differenziali; calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili, curve e superfici; forme differenziali lineari.
Libri di testo consigliati (Cerca nel catalogo della biblioteca)
1) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa,"Analisi Matematica 1", Zanichelli (2008)
2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa,"Analisi Matematica 2", Zanichelli (2009)
3) S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di Analisi Matematica" Vol. 1 e Vol.2, Zanichelli (2011)
Altri testi di consultazione consigliati:
4) G. Anichini, G. Conti, "Analisi Matematica 1", Pearson (2010).
5) G. Anichini, G. Conti, "Analisi Matematica 2", Pearson (2010).
6) M. Bramanti, “Esercitazioni di Analisi 1”, Esculapio (2011)
7) M. Boella, “Analisi Matematica 2 - Esercizi”, Pearson (2008)
2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa,"Analisi Matematica 2", Zanichelli (2009)
3) S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di Analisi Matematica" Vol. 1 e Vol.2, Zanichelli (2011)
Altri testi di consultazione consigliati:
4) G. Anichini, G. Conti, "Analisi Matematica 1", Pearson (2010).
5) G. Anichini, G. Conti, "Analisi Matematica 2", Pearson (2010).
6) M. Bramanti, “Esercitazioni di Analisi 1”, Esculapio (2011)
7) M. Boella, “Analisi Matematica 2 - Esercizi”, Pearson (2008)
Obiettivi Formativi
Apprendimento ed acquisizione di strumenti matematici necessari alla descrizione e comprensione dei fenomeni fisici. Potenziamento e sviluppo dell'attitudine sia al ragionamento analitico e logico deduttivo sia all' individuazione dei dati essenziali nell'analisi e nella sintesi della presentazione di possibili problematiche. Potenziamento dell'attitudine ad individuare schemi e modelli matematici per problemi di varia natura.
Prerequisiti
Elementi di logica elementare e comprensione verbale. Elementi di Algebra. Calcolo letterale. Elementi di geometria descrittiva piana e spaziale. Lunghezze, aree, volumi delle principali figure geometriche elementari. Elementi di geometria analitica: coordinate cartesiane e grafici di funzioni elementari. Elementi di trigonometria piana.
Metodi Didattici
Il corso prevede lo svolgimento di lezioni ed esercitazioni in aula. Il numero delle esercitazioni è prevedibilmente poco più di un terzo del numero delle lezioni, e può variare leggermente in considerazione di opportunità
Altre Informazioni
Calendario Esami
Gli appelli sono pubblicati nel Sistema Prenotazione Prove d'Esame di Ateneo
http://sol.unifi.it/docprenot/docprenot
Materiale didattico
Informazioni aggiornate sul corso, il registro delle lezioni tenute, esercizi aggiuntivi e/o appunti delle lezioni potranno essere trovati sulle pagine personali dei docenti dedicate alla didattica:
Prof. Mugelli (I modulo) si veda la pagina http://www.dma.unifi.it/~mugelli/didattica/Analisi-11_12
Prof.ss Matucci (II modulo) si veda la pagina http://www.unifi.it/detmod/CMpro-v-p-77.html
Gli appelli sono pubblicati nel Sistema Prenotazione Prove d'Esame di Ateneo
http://sol.unifi.it/docprenot/docprenot
Materiale didattico
Informazioni aggiornate sul corso, il registro delle lezioni tenute, esercizi aggiuntivi e/o appunti delle lezioni potranno essere trovati sulle pagine personali dei docenti dedicate alla didattica:
Prof. Mugelli (I modulo) si veda la pagina http://www.dma.unifi.it/~mugelli/didattica/Analisi-11_12
Prof.ss Matucci (II modulo) si veda la pagina http://www.unifi.it/detmod/CMpro-v-p-77.html
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale successiva alla prova scritta. Sono previste prove parziali di verifica dell'apprendimento durante lo svolgimento del corso; il superamento di tali prove equivale al superamento della prova scritta.
Programma del corso
I Modulo (6 CFU) - Docente: Prof. Francesco Mugelli
I NUMERI
Insiemi. Unione, intersezione, differenza complementare, prodotto cartesiano, inclusione. Sommatorie. Proprietà formali delle sommatorie. Somma di una progressione geometrica. Numeri naturali. Fattoriale di n e coefficienti binomiali. Binomio di Newton. Numeri razionali. Numeri reali. Valore assoluto. Maggioranti e minoranti di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo di un insieme. Potenze e Radicali. Esponenziali e Logaritmi. I numeri Complessi: forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Radici n-esime. Equazioni nel campo complesso. Definizione delle funzioni complesse: expz, senz, cosz, logz, e relative proprietà. Forma esponenziale dei numeri complessi. Potenza nel campo complesso.
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
Definizione di successione. Concetto di limite. Unicità del limite. Proprietà dei limiti. Successioni limitate inferiormente e/o superiormente. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Forme indeterminate. Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno. Successioni monotone e loro proprietà. Il numero di Nepero. Stime asintotiche. Definizione di serie. Somma di una serie. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e la serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza. Criteri di convergenza: del confronto, del rapporto e della radice. Criterio del confronto asintotico. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno.
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio, grafico. Funzioni limitate, funzioni monotone. Limiti. Limite destro e limite sinistro. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Composizione di funzioni. Funzioni composte, funzioni inverse. Funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Funzioni trigonometriche inverse e funzioni iperboliche inverse. Funzioni continue. Proprietà delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weirstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Limiti notevoli. Stime asintotiche.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Derivate. Significato geometrico della derivata: retta tangente al grafico di una funzione. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Continuità e derivabilità. Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Massimi, minimi e flessi. Convessità e concavità. Teorema di Fermat e Teorema di Rolle. Il teorema di de l'Hopital. Studio del grafico di una funzione.
CALCOLO DIFFERENZIALE ED APPROSSIMAZIONE
Differenziale ed approssimazione lineare. Il simbolo "o piccolo". Formula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Resto secondo Peano e secondo Lagrange. Applicazioni della formula di Taylor e di Mac Laurin.
CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Somme di Cauchy-Riemann. L'integrale come limite di somme di Cauchy-Riemann. Proprietà dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Il teorema del valor medio per il calcolo integrale. Primitive. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva. Calcolo degli integrali indefiniti e definiti. Integrazione per scomposizione, per parti, per sostituzione. Funzioni integrabili. Integrali generalizzati. Integrazione di funzioni non limitate. Integrazione su
intervalli non limitati. Criteri di integrabilità. La funzione integrale.
II Modulo (6 CFU) - Docente: Prof.ssa Serena Matucci
INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalita`: soluzione, integrale generale, problema di Cauchy. Esempi di equazioni del primo ordine: equazioni lineari, equazioni a variabili separabili. Cenni sulle equazioni del secondo ordine.
FUNZIONI REALI DI DUE O PIU' VARIABILI
Le funzioni reali di due o più variabili. Limiti e continuità. Calcolo dei limiti in più variabili.
CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI PIU' VARIABILI.
Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente. Il differenziale di una funzione. Funzioni differenziabili. Teorema del differenziale totale. Derivata di una funzione composta. Derivate successive. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor. Punti di estremo relativo. Punti critici. Punti di sella. La matrice hessiana. Funzioni definite implicitamente. Teorema del Dini. Ricerca di estremi assoluti. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli. Cambiamento di variabili.
FUNZIONI VETTORIALI - CURVE E SUPERFICI - INTEGRAZIONE SU CURVE E SUPERFICI
Curve in forma parametrica. Curve regolari. Curve generalmente regolari. Retta tangente ad una curva. Derivata di un campo scalare differenziabile lungo una curva regolare. Lunghezza di una curva. Calcolo della lunghezza di una curva regolare. Integrali curvilinei di campi scalari. Baricentro e momenti di inerzia di una curva. Integrali curvilinei di campi vettoriali. Concetto di lavoro. Superfici in forma parametrica. Superfici regolari. Superfici generalmente regolari. Versore normale. Piano tangente. Orientazione. Area di una superficie. Integrali di superficie di campi scalari. Baricentro e momenti di inerzia di una superficie. Integrali superficiali di campi vettoriali: integrali di flusso. Teorema della divergenza.
FORME DIFFERENZIALI LINEARI
Forme differenziali lineari. Forme differenziali esatte (campi conservativi). Forme differenziali chiuse. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte in termini di integrali curvilinei. Primitive di forme differenziali esatte (potenziale di un campo conservativo). Metodi di calcolo per la ricerca delle primitive di una forma esatta (determinazione del potenziale di un campo conservativo). Teorema di Stokes.
I NUMERI
Insiemi. Unione, intersezione, differenza complementare, prodotto cartesiano, inclusione. Sommatorie. Proprietà formali delle sommatorie. Somma di una progressione geometrica. Numeri naturali. Fattoriale di n e coefficienti binomiali. Binomio di Newton. Numeri razionali. Numeri reali. Valore assoluto. Maggioranti e minoranti di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo di un insieme. Potenze e Radicali. Esponenziali e Logaritmi. I numeri Complessi: forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Radici n-esime. Equazioni nel campo complesso. Definizione delle funzioni complesse: expz, senz, cosz, logz, e relative proprietà. Forma esponenziale dei numeri complessi. Potenza nel campo complesso.
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
Definizione di successione. Concetto di limite. Unicità del limite. Proprietà dei limiti. Successioni limitate inferiormente e/o superiormente. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Forme indeterminate. Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno. Successioni monotone e loro proprietà. Il numero di Nepero. Stime asintotiche. Definizione di serie. Somma di una serie. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e la serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza. Criteri di convergenza: del confronto, del rapporto e della radice. Criterio del confronto asintotico. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno.
FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Generalità sulle funzioni. Dominio, codominio, grafico. Funzioni limitate, funzioni monotone. Limiti. Limite destro e limite sinistro. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Composizione di funzioni. Funzioni composte, funzioni inverse. Funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Funzioni trigonometriche inverse e funzioni iperboliche inverse. Funzioni continue. Proprietà delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weirstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Limiti notevoli. Stime asintotiche.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Derivate. Significato geometrico della derivata: retta tangente al grafico di una funzione. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Continuità e derivabilità. Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Massimi, minimi e flessi. Convessità e concavità. Teorema di Fermat e Teorema di Rolle. Il teorema di de l'Hopital. Studio del grafico di una funzione.
CALCOLO DIFFERENZIALE ED APPROSSIMAZIONE
Differenziale ed approssimazione lineare. Il simbolo "o piccolo". Formula di Taylor. Formula di Mac Laurin. Resto secondo Peano e secondo Lagrange. Applicazioni della formula di Taylor e di Mac Laurin.
CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Somme di Cauchy-Riemann. L'integrale come limite di somme di Cauchy-Riemann. Proprietà dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Il teorema del valor medio per il calcolo integrale. Primitive. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva. Calcolo degli integrali indefiniti e definiti. Integrazione per scomposizione, per parti, per sostituzione. Funzioni integrabili. Integrali generalizzati. Integrazione di funzioni non limitate. Integrazione su
intervalli non limitati. Criteri di integrabilità. La funzione integrale.
II Modulo (6 CFU) - Docente: Prof.ssa Serena Matucci
INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalita`: soluzione, integrale generale, problema di Cauchy. Esempi di equazioni del primo ordine: equazioni lineari, equazioni a variabili separabili. Cenni sulle equazioni del secondo ordine.
FUNZIONI REALI DI DUE O PIU' VARIABILI
Le funzioni reali di due o più variabili. Limiti e continuità. Calcolo dei limiti in più variabili.
CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI PIU' VARIABILI.
Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente. Il differenziale di una funzione. Funzioni differenziabili. Teorema del differenziale totale. Derivata di una funzione composta. Derivate successive. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor. Punti di estremo relativo. Punti critici. Punti di sella. La matrice hessiana. Funzioni definite implicitamente. Teorema del Dini. Ricerca di estremi assoluti. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli. Cambiamento di variabili.
FUNZIONI VETTORIALI - CURVE E SUPERFICI - INTEGRAZIONE SU CURVE E SUPERFICI
Curve in forma parametrica. Curve regolari. Curve generalmente regolari. Retta tangente ad una curva. Derivata di un campo scalare differenziabile lungo una curva regolare. Lunghezza di una curva. Calcolo della lunghezza di una curva regolare. Integrali curvilinei di campi scalari. Baricentro e momenti di inerzia di una curva. Integrali curvilinei di campi vettoriali. Concetto di lavoro. Superfici in forma parametrica. Superfici regolari. Superfici generalmente regolari. Versore normale. Piano tangente. Orientazione. Area di una superficie. Integrali di superficie di campi scalari. Baricentro e momenti di inerzia di una superficie. Integrali superficiali di campi vettoriali: integrali di flusso. Teorema della divergenza.
FORME DIFFERENZIALI LINEARI
Forme differenziali lineari. Forme differenziali esatte (campi conservativi). Forme differenziali chiuse. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte in termini di integrali curvilinei. Primitive di forme differenziali esatte (potenziale di un campo conservativo). Metodi di calcolo per la ricerca delle primitive di una forma esatta (determinazione del potenziale di un campo conservativo). Teorema di Stokes.